1. Giải phương trình: \(\left(\sqrt{x+3}-\sqrt{x}\right)\left(\sqrt{1-x}+1\right)=1\)=1
2. Tìm nghiệm nguyên dương của: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{6xy}=\frac{1}{6}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
27 tháng 4 2020
Điều kiện x>0; y\(\ne\)0
Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với:
\(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{y}{x}=\frac{2\sqrt{x}}{y}+2\Leftrightarrow\sqrt{x}+y^2=2x\sqrt{x}+2xy\Leftrightarrow y^2+y\left(\sqrt{x}-2x\right)-2x\sqrt{x}=0\)
Xem đây là hpt bậc hau theo biến y, ta có:
\(\Delta_x=\left(\sqrt{x}-2x\right)^2+8x\sqrt{x}=x+4x\sqrt{x}+4x^2=\left(\sqrt{x}+2x\right)^2>0\)
Do đó, phương trunhf này có 2 nghiệm là:
\(y_1=\frac{\left(2x-\sqrt{x}\right)-\left(\sqrt{x}+2x\right)}{2}=-\sqrt{x},y_2=\frac{\left(2x-\sqrt{x}\right)+\left(\sqrt{x}+2x\right)}{2}=2x\)
xét 2 trường hopej
-Nếu \(y=-\sqrt{x}\)thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được
\(-\sqrt{x}\left(\sqrt{x^2+1}-1\right)=\sqrt{3x^2+3}\)
Dễ thấy: \(-\sqrt{x}\left(\sqrt{x^2+1}-1\right)< 0< \sqrt{3x^2+3}\)nên phương trình này vô nghiệm
Nếu y=2x, thay vào pt thứ 2 của hệ ta được
\(2x\left(\sqrt{x^2+1}-1\right)=\sqrt{3x^2+3}\Leftrightarrow\sqrt{x^2+1}\left(2x-\sqrt{3}\right)=2x\Leftrightarrow\sqrt{x^2+1}=\frac{2x}{2x-\sqrt{3}}\)(*)
(dễ thấy \(x=\frac{\sqrt{3}}{2}\)ktm đẳng thức nên chỉ xét \(x\ne\frac{\sqrt{3}}{2}\)và phép biến đổi trên là phù hợp)
Xét 2 hàm số \(f\left(x\right)=\sqrt{x^2+1},x>0\)và \(g\left(x\right)=\frac{2x}{2x-\sqrt{3}};x>0\)
Ta có \(f'\left(x\right)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}>0\)nên là hàm đồng biến \(g'\left(x\right)=\frac{-2\sqrt{3}}{\left(2x-\sqrt{3}\right)^2}< 0\)nên là hàm nghịch biến
=> PT (*) không có quá 1 nghiệm
Nhẩm thấy x=\(\sqrt{3}\)thỏa mãn (*) nên đây cũng là nghiệm duy nhất của (*)
Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất là: \(\left(x;y\right)=\left(\sqrt{3};2\sqrt{3}\right)\)
TN
9 tháng 2 2017
\(P=\frac{\frac{1}{a^2}}{\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}+\frac{\frac{1}{b^2}}{\frac{1}{a}+\frac{1}{c}}+\frac{\frac{1}{c^2}}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\)
Đặt \(\hept{\begin{cases}x=\frac{1}{a}\\y=\frac{1}{b}\\z=\frac{1}{c}\end{cases}}\Rightarrow xyz=1\Rightarrow P=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:
\(P\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{y+z+x+z+x+y}=\frac{x+y+z}{2}\ge\frac{3\sqrt[3]{xyz}}{2}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Cần cách khác thì nhắn cái
2.
Nhân hai vế của phương trình với 6xy:
6y+6x+1=xy6y+6x+1=xy
Đưa về phương trình ước số:
x(y−6)−6(y−6)=37x(y−6)−6(y−6)=37
⇔(x−6)(y−6)=37⇔(x−6)(y−6)=37
Do vai trò bình đẳng của xx và yy, giả sử x⩾y⩾1x⩾y⩾1, thế thì x−6⩾y−6⩾−5x−6⩾y−6⩾−5.
Chỉ có một trường hợp:
{−6=37y−6=1⇔{=43y=7{−6=37y−6=1⇔{=43y=7
Đáp số: (43;7),(7;43)